Biografia de Leonhard Paul Euler

Por Danilo Eder Pinheiro Carvalho, Everaldo Lopes Carneiro, Gerinaldo Santos Ferreira e Marcos Franklin Mota Lima

Matemático suiço, nascido na Basiléia, no último dia da segunda quinzena do primeiro quadrimestre do ano de 1707, filho de Paul Euler, Pastor Protestante, e Marguerite Brucker, descente de um pastor. Filho primogênito teve duas irmãs mais novas, Anna Maria e Maria Magdalena. Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Não aprendeu muito de Matemática na Escola, porém, através da convivência familiar, ganhou interesse e prazer pelo estudo da Matemática através dos ensinamentos do pai, estudando sozinho muitos livros de Matemática, chegando, inclusive, a procurar aulas particulares. Foi um menino precoce, dotado de excelente memória e grande facilidade para o aprendizado de línguas. Seu pai queria vê-lo seguir seus passos de pastoreio, razão pela qual matriculou Euler, ainda na adolescência, no ano de 1720, na Universidade de Basiléia para estudar Teologia. Em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde comparava Descartes com Newton. Nesse período já recebia, no fim de semana, lições de Johann Bernoulli que rapidamente descobriu o seu talento para a Matemática. Em 1726, Euler completou a sua dissertação na propagação do som.
Apesar de ser religioso, Leonhard não se entusiasmou com o estudo da teologia, e seu pai, por influência dos amigos matemáticos de seu filho, Nicolau e Daniel Bernoulli, filhos de um dos grandes matemáticos da época, Jean Bernoulli, foi persuadido a consentir que ele mudasse para a Matemática, o que de fato aconteceu e seu filho se tornou um grande matemático
Terminado o curso de Matemática, assumiu o posto de professor na Universidade de São Petersburgo, na Rússia, mantendo contato com grandes pensadores e cientistas a exemplo de Jakob Hermann, Daniel Bernoulli e Christian Goldbach. Euler recebeu uma instrução bastante ampla, pois além de Matemática, cursou Medicina, Astronomia, Física e Línguas Orientais.
No tempo de Euler os cientistas estavam mais presentes nas Academias de Ciências do que nas Universidades. As Academias contribuíram para a melhoria das Universidades, pois estas competiam com as academias pelos melhores talentos. A criação das academias e o fortalecimento das universidades se deveram ao espírito empreendedor dos grandes estadistas da época, a exemplo de Carlos II, na Inglaterra, Colbert, na França, Pedro, na Rússia, e Frederico II, na Prússia.
As academias eram centros de pesquisa científica e tecnológica, e contavam com boas instalações, aporte financeiro e plenas condições de funcionamento. Os pesquisadores e profissionais contratados tinham ampla liberdade em seus trabalhos e pesquisas, pois o que muito se esperava deles era que prestigiassem suas instituições com a publicação de pesquisas nos anais das academias as quais pertenciam. Entretanto, sempre que os governos precisavam, deveriam atender na solução de problemas nas diversas áreas como navegação, engenharia naval, hidráulica, acústica, cartografia, artes militares etc.
No ano de 1727 participou de competição premiada da Academia de Paris, na qual o problema a ser resolvido era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ficou em segundo lugar, perdendo para aquele que mais tarde seria conhecido como “o pai da arquitetura naval”: Pierre Bouguer. Entretanto Euler ganharia o referido prêmio anual uma dúzia de vezes. Ainda no ano de 1727 ingressa nas forças armadas exercendo a função de Tenente da Marinha Russa. Deixou o posto no ano de 1730 para tornar-se professor de Física da Academia de Ciências. Já no ano de 1737, Euler assumiu o mais alto posto da hierarquia do magistério: a cátedra de matemática da Academia. Com a remuneração extra de tal conquista, encontrou as condições financeiras que lhe permitiram contrair matrimônio com Katharina Gsell, no ano de 1734. Tiveram treze filhos, mas, por falta de recursos da Medicina, apenas cinco sobreviveram à infância. O próprio Euler, ainda em vida, atribuiu a essa fase algumas de suas maiores descobertas científicas.
Após 1730 ele desenvolveu uma série de projetos acerca de cartografia, magnetismo, motores a combustão, máquinas e construção naval ... O foco da sua pesquisa estava agora bem definido: teoria de números; análises no infinito incluindo seus novos ramos, equações diferenciais e o cálculo de variações, e mecânica racional. Ele enxergava esses três campos como intimamente ligados. Estudos de teoria de números foram vitais para a fundamentação do cálculo, e funções especiais e equações diferenciais foram essenciais para mecânica racional, que fornecia problemas concretos.
O século XVIII, na História da Matemática, foi uma época de desenvolvimento do cálculo, de sistematização e aprimoramento de métodos. Muitos matemáticos viveram e produziram trabalhos importantes nesse século
São incontestáveis as contribuições de Euler para o seu e nosso tempo. No ano de 1735, Euler ganha fama mundial ao resolver um problema que por décadas foi desafio para os matemáticos da época. Trata-se da Série infinita da soma dos inversos dos quadrados dos números positivos, conhecido como problema da Basiléia, isto é a soma exata da série infinita.

A origem do nome do problema deve-se à cidade onde residia Euler Basileia, na qual também residia a família Bernoulli, que tentou solucionar o problema sem êxito.
Euler escreveu vários livros importantes para o ensino. Um deles é “A introdução à análise infinitesimal”, datado de 1748 e até hoje um texto de Cálculo admirado pela originalidade no trato de vários conceitos do Cálculo. É nesse livro que muitas das funções como logaritmos, exponenciais e as funções trigonométricas adquiriram a roupagem tal qual conhecemos hoje. Outra obra importante de Euler foi Cartas a uma jovem princesa, destinada à instrução da princesa Anhalt-Dessau, sobrinha de Frederico II, o Grande, versando sobre os mais variados assuntos científicos.
Leonhard Euler criou a mais ampla obra de matemática de todos os tempos, em todas as áreas da Matemática Pura e Aplicada. Álgebra, Geometria, Cálculo Infinitesimal, Teoria dos Números, Mecânica Racional, Mecânica Celeste, Geodésia, Cartografia, Balística e Hidrodinâmica são alguns domínios científicos deste gênio suíço chamado Euler.
Em Teoria dos números Euler é o maior nome que surgiu depois de Fermat. Integrou o Cálculo Diferencial de Leibnitz e o Método dos Fluxos de Newton à análise matemática. Euler criou o Cálculo das Variações que é o estudo das funcionais, ou funções que dependem de outras funções. Criou a Mecânica Analítica, cujos métodos têm um alcance maior dos que os métodos de Newton. Criou ainda a Geometria Diferencial, ou seja, um estudo das curvas e superfícies com métodos de Cálculo.
Ainda na Teoria dos Números enunciou o teorema dos números primos e a lei da reciprocidade biquadrática. Foi o mais prolífico escritor de Matemática de todos os tempos. Seu trabalho completo engloba 886 livros e artigos. Euler também foi responsável pela incorporação de numerosos símbolos à linguagem matemática: o “f(x)” das notações (1734); "e" para a base dos logaritmos naturais (1727); "i" para a raiz quadrada de -1 (1777); o símbolo "π” para o "pi"; o símbolo" ∑" para os somatórios (1755); a, b, e c para os lados de um triângulo e A, B e C para seus ângulos. Em 1765 propôs a solução para o problema das pontes de Konigsberg, sendo o fundador da "Teoria dos Grafos”, bastante utilizada na topografia
As funções e fórmulas de Euler são muito comuns na matemática. Duas das mais famosas são: e^(ix) = cos(x) + i sin(x) (quando x = ¼ nós temos ei¼ - 1 = 0 ), e V - A + F = 2 para qualquer poliedro simples com vértices, arestas e faces
Não se pode deixar de mencionar o famoso: "número de Euler" que permite várias simplificações no cálculo integral e logarítmico. Ele é o único número cuja derivada em x de e^x resulta em e^x.
Euler foi uma pessoa de grandes virtudes morais. Era homem simples e humilde. Teve em vida pleno reconhecimento de suas altas qualidades humanas e de grande cientista, por cujos trabalhos recebeu muitos prêmios. Foi um homem feliz, mas não escapou ao sofrimento imposto pela vida: começou a perder a visão do olho direito aos 31 anos de idade e logo ficou cego desse olho.
Em 1771, idoso e adoentado Euler experimentou uma tragédia em sua vida quando sua casa foi arrasada por um incêndio. Tudo o que conseguiu salvar foram seus valorosos manuscritos. Imbuído de sólida fé cristã, enfrentou todos esses embates sem perder o ânimo de continuar sua caminhada no tempo e sua sensacional produção científica. Segundo a História, como seqüela deste episódio de dor, Euler ficou totalmente cego, mas não parou de produzir. Continuou com seus projetos, e quase a metade de toda a sua produção científica foi concluída após esses incidentes. Euler contou com a ajuda valorosa de dois de seus filhos, Johann Albrecht Euler e Christoph Euler como também de dois membros da Academia.
Leonhard Euler veio a falecer em São Petersburgo, Rússia, no ano de 1783, no dia 18 de setembro, aos 76 anos, repentinamente quando tomava chá com um dos seus netos.

REFLEXÃO SOBRE A ATIVIDADE BIOGRAFIA

A Matemática, desde os primórdios da civilização até a atualidade, desempenha um papel muito importante na sociedade em geral e, particularmente, no mundo da ciência e do trabalho. A importância dessa ciência pode ser justificada com vários argumentos: entendimento de que sua linguagem e seus conceitos são universais, contribuindo para a cooperação internacional; ao fato dela guardar uma profunda relação com a cultura dos povos, tendo grandes pensadores contribuído ao longo de milhares de anos para o seu desenvolvimento; ao papel que ela desempenha na atualidade e às aplicações que tem em vários campos, contribuindo para o desenvolvimento das ciências, da tecnologia, das comunicações, da economia, etc; à contribuição que ela dá para o desenvolvimento do pensamento racional nos níveis fundamental e médio de nossas escolas.
Estudar biografia é tedioso, pois num primeiro momento entramos em contato com dados e informações pessoais de personalidades que não conhecemos e que não foram nossos contemporâneos, como é o caso dos grandes cientistas e matemáticos. A atividade de confecção de uma biografia exige concentração e paciência para se evitar plágio (algo difícil de ser alcançado em sua totalidade), mas saber da trajetória de vida e da obra de um grande matemático, como Euler, nos faz rever conceitos e perceber que o conhecimento matemático sempre foi um desafio e somente os sábios e determinados venceram, haja vista que a maior parte da Matemática tal qual conhecemos hoje (ou julgamos conhecer) foi desenvolvida entre os séculos XVII e XIX, fazendo-nos entender que a construção do Universo por meio de modelos abstratos é resultante da Matemática constituída como uma ciência investigativa.
O estudo e confecção de biografias é algo inovador; um mecanismo pedagógico e metodológico capaz de influenciar nos alunos o desenvolvimento de uma postura crítica, aguçamento da imaginação, desenvolvimento da criatividade, melhoria da intuição e capacidade de resolver problemas e interpretar dados.
O ensino da Matemática existe desde os primórdios da civilização. Na atualidade o ensino da Matemática é muito importante em todos os níveis devido ao avanço das ciências e da tecnologia, que trazem benefícios imprescindíveis às sociedades, razão pela qual se faz necessário o estudo da vida dos grandes personagens da História da Matemática para percebermos que a Matemática como ciência se encontra em plena vitalidade. Tendo contribuído com a sociedade desde os primórdios das mais antigas civilizações está hoje presente nas mais altas esferas do pensamento científico assim como nas mais diversas aplicações tecnológicas.

Referências

http://www.exatas.com/matematica/euler.html *
http://biografias.netsaber.com.br *
http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler *
http://www.bcc.unifal-mg.edu.br *
http://pt.scribd.com/doc/47591774/biografia-de-Euler-matematico *

* Acessados em 26 de outubro de 2011.

D’AMBROSIO, U. A História ‘da Matemática – Questões historiográficas e políticas e reflexos na Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V. (org.)

INTRODUÇÃO

Ultimamente, a matemática tem sido uma disciplina vista por muitos na nossa sociedade como algo difícil, pronto, distante da realidade e muitas vezes sem utilidades, sendo, assim, uma disciplina que o seu conhecimento e a sua utilização se dão exclusivamente por matemáticos, cientistas ou profissionais das ciências exatas, dando a entender de que o conhecimento matemático se restringe a determinados grupos sociais ou as sociedades mais desenvolvidas.
Mas na verdade, Matemática é uma ciência resultante de uma construção social, dinâmica e em constante evolução, construída pelos povos simultaneamente em diversos lugares. Por isso, ela não se restringe a grupos privilegiados, pelo contrário, ela é construída a partir das necessidades e dos interesses da humanidade, seja para contar, jogar, medir, localizar, entre outros.
Neste sentido, a presente pesquisa tem como foco principal a produção e apresentação de uma proposta de ensino de Geometria utilizando o recurso da História da Matemática onde serão abordados os seguintes tópicos:
• Um breve texto sobre a origem histórica do desenvolvimento da Geometria até os dias atuais;
• Um panorama sobre a distribuição dos conteúdos de Geometria no currículo de matemática no Brasil;
• Um panorama sobre a situação atual do ensino de Geometria e a história dessa evolução até a condição atual que se mostra, bem como, como se apresenta hoje em termos de ensino e de aprendizagem;
• Fundamentação teórica da utilização da História da Matemática no ensino;
• Revisão de literatura de propostas já existentes a respeito da utilização da história da matemática para o ensino de Geometria;
• A proposta detalhada elaborada pelo grupo para o ensino de Geometria utilizando o recurso da História da Matemática.

PANORAMA SOBRE A SITUAÇÃO ATUAL DO ENSINO DE GEOMETRIA E A HISTÓRIA DESSA EVOLUÇÃO ATÉ A CONDIÇÃO ATUAL QUE SE MOSTRA, BEM COMO SE APRESENTA HOJE

A Matemática é uma ciência que apresenta um processo significativo de ensino para conduzir os alunos à exploração de uma grande variedade de idéias e de estabelecimento de relações entre fatos e conceitos de modo a incorporar os contextos do mundo real e as experiências para o desenvolvimento das noções matemáticas.
Olhar o mundo a nossa volta e compreendê-lo, interagir e participar criticamente dos rumos de nossa sociedade e do meio ambiente, contribuindo para o bem comum, são apenas algumas das atribuições que temos como cidadãos. Nesse sentido, o conhecimento matemático é essencial.
A História da Matemática permite situar essa área do conhecimento como manifestação cultural dos povos ao longo dos tempos, da mesma forma que a linguagem, costumes, valores e crenças. Amplia a visão matemática como ciência diversificada nas suas origens e evolução, permitindo perceber que a Matemática escolar é uma das muitas formas desse conhecimento desenvolvidas pela humanidade.
O recurso à História da Matemática tem servido como motivação para o desenvolvimento de diversos conceitos matemáticos. Esta linha de recurso didático parte do princípio de que o estudo da construção histórica do conhecimento matemático leva a uma maior compreensão da evolução e do uso do conceito.
Desde sua origem nas culturas da Antiguidade, a Matemática foi-se desenvolvendo, até que, a partir do século XVII, organizou-se como corpo de conhecimentos, com estilo próprio, incorporando-se aos sistemas escolares das nações. Tornou-se indispensável no mundo, em conseqüência do desenvolvimento científico, tecnológico e econômico.
Quando estudamos Geometria, pensamos que a seqüência como ela é apresentada sempre foi a mesma e não nos damos conta das transformações das idéias dos grandes homens que a construíram, dos caminhos percorridos, e das circunstâncias em que estes conhecimentos surgiram.
As civilizações antigas que contribuíram com a evolução da Geometria foram: a chinesa, a indiana, a mediterrânea, a da Mesopotâmia, e as do vale do rio Nilo. O desenvolvimento da Geometria se iniciou tomando como base, o conceito de que a terra era plana, mas isto não impediu sua evolução.
As origens da Geometria (do grego: medir a terra) parecem surgir das necessidades do dia a dia. Para medir, necessitavam de padrões de medidas, assim foram surgindo: palmo, pé, passo, braça, cúbito, e isto tudo por volta de 3.500 a.C., quando começaram a surgir os primeiros templos, passando a adotar a longitude das partes do corpo de um único homem, geralmente o rei.
Dois papiros são relevantes contendo informações referente à matemática egípcia antiga: o papiro de Moscou (aprox. 1.850 a.C.) e o papiro Rhind ou Ahmes (aprox. 1.659 a.C.), contendo 26 problemas geométricos, entre eles fórmulas de mensuração necessária para cálculo de áreas de terras e volumes de grãos.
Tais informações são ricas e passíveis de um trabalho interdisciplinar com as disciplinas de História, Artes e mesmo Língua Portuguesa. Ocorre que o ensino da Geometria sempre é relegado a segundo plano, colocado sempre nos últimos capítulos dos sumários dos livros didáticos como uma tentativa de esconder o não preparo dos professores para o ensino da Geometria, pois muitos destes profissionais não aprenderam ou não estudaram os conteúdos de geometria.
Os professores de Matemática dedicam-se mais ao ensino da álgebra e quando partem para o ensino da Geometria ficam presos somente aos conceitos iniciais Euclidianos.
O Próprio Ministério da Educação, ao “testar” as habilidades dos alunos através da Prova Brasil e do ENEM, propõe a resolução de questões envolvendo geometria como: figuras planas e não planas, cálculo de áreas de figuras determinadas por polígonos, medidas de comprimento. Quando da análise dos resultados percebe-se que a grande maioria percentual dos estudantes de escolas públicas erra as questões, podendo-se concluir a ausência do ensino de Geometria no Ensino Fundamental e Médio ou mesmo quando tal ensino ocorre é feito de forma superficial, sem demonstrações e mesmo sem significado para o aluno.
Muitos dos livros didáticos não contextualizam os conteúdos e não fazem referência a História da Matemática como recursos capazes de romper o distanciamento da Geometria dos currículos escolares da realidade, pois desde a tenra idade nos deparamos com situações que lembram noções geométricas de espaço e forma.
A Matemática é uma disciplina com características muito próprias, sendo utilizada em todas as áreas do conhecimento cientifico. Assim a Geometria é a ciência que tem por objetivo analisar, organizar e sistematizar o conhecimento espacial. As representações geométricas estão a nossa volta em forma de gráficos, figuras planas e espaciais.
O ensino de geometria deve se ater para questões que expressem o pensamento geométrico, ou seja, o ensino precisa permitir o estudante realize uma leitura que exija a percepção geométrica, raciocínio geométrico e linguagem geométrica, fatores estes que influenciam diretamente na relação que envolve a construção e apropriação de conceitos abstratos e aqueles que se referem ao objeto geométrico em si.
As maiores dificuldades para o ensino e aprendizagem da Geometria são: a existência de pouco ensino de geometria, (entendido como poucas aulas), nos Ensinos Fundamental e Médio, dada a extensão de conteúdos programáticos a serem cumpridos em cada ano letivo; falta de formação e metodologia apropriada dos professores para a concretização do ensino de geometria; ausência de materiais concretos e de laboratórios de matemática nas escolas. Também é de se destacar a competência matemática do aluno que não vem correspondendo às séries que estes pertencem, o que decorre naturalmente dos professores estarem a se queixar de que os níveis de conhecimentos matemáticos dos seus alunos não condizem à sua série escolar.
Ao se analisar alguns livros didáticos do Programa Nacional do Livro Didático, Ministério da Educação, Governo Federal, percebemos que alguns autores procuram disseminar o uso da geometria durante as unidades, não mais deixando os conteúdos dessa área do conhecimento relegados ao fim do sumário, como também procuram propor atividades de pesquisa sobre a História da Matemática e promovendo situações-problemas de contextualização dos conteúdos. Entretanto, mesmo com aparente modificação, o professor ainda carece de formação, pois até mesmo nas Academias a formação para o Magistério no Ensino Médio e/ou Fundamental não se dá de modo pleno.
Ensinar Matemática, notadamente Geometria, em qualquer etapa da vida escolar, ensino fundamental ou ensino médio, tem sido um desafio para os educadores, ora pelo desinteresse dos alunos, ora pela dificuldade da escolha metodológica.
As dificuldades de aprendizagem bem como as deficiências no ensino da matemática constituem, já há algum tempo, preocupação para os estudiosos cujas investigações são dedicadas às questões inerentes à aplicação de metodologias no ensino da matemática, assim como ao refinamento da compreensão desta ciência tão discriminada pela exatidão de seus métodos.
A falta de tempo do educador leva-o a certos impedimentos de modificar sua prática pedagógica tendo como referencial um plano que sane as dificuldades diárias. É esse obstáculo na vida profissional do professor, especificamente o de matemática, que o faz viver em constante reflexão acerca de quão grande problemática.
Se analisarmos apenas no contexto da Geometria encontraremos muitos exemplos de programas computacionais (softwares) destinados ao estudo de temas geométricos. Nesse contexto, considerando a Geometria como parte fundamental da matemática, convém entender as contribuições da tecnologia para a melhoria da aprendizagem matemática.
O uso de computadores como metodologia didática tem o poder de dar ao aluno a autoconfiança na sua capacidade de criar e fazer matemática. Com essa abordagem a matemática deixa de ser um corpo dos conhecimentos prontos e simplesmente transmitidos aos alunos e passa a ser algo em que o aluno faz parte integrante do processo de construção de seus conceitos.

A ORIGEM HISTÓRICA DO DESENVOLVIMENTO DE GEOMETRIA ATÉ OS DIAS ATUAIS

A Geometria foi desenvolvida a partir da necessidade de medir terras, construir casas, templos e monumentos, navegar, calcular distâncias. Não é possível saber quando ela surgiu com exatidão, têm-se, através dos tempos, os seus registros presentes nos legados de todas as civilizações: babilônios, egípcios, gregos, chineses, romanos, hindus, árabes que utilizaram as formas geométricas no seu dia a dia.
Os conhecimentos geométricos começaram a ser utilizados muitos séculos antes de Cristo. No Egito, por exemplo, as cheias anuais do rio Nilo destruíram as cercas que demarcavam os campos de plantação. Quando as águas voltaram ao nível normal, os egípcios dividiam novamente as terras, baseando-se em registros feitos antes das cheias. E isso só acontecia por causa da geometria.

Dessa forma, medindo e desenhando terrenos, os egípcios descobriram métodos e adquiriram conhecimentos que, depois, foram aprendidos pelos gregos. Foram os gregos que estudaram e desenvolveram esses conhecimentos, aos quais chamaram de Geometria, que significa “medida da terra” (geo = terra; metria = medida).
Por volta do ano 500 a.C., houve na Grécia um grande desenvolvimento do interesse pela ciência e vários sábios se dedicaram ao estudo da Geometria. Um dos mais importantes foi Tales de Mileto, que usou propriedades de figuras geométricas para a determinação de distância sobre a superfície terrestre.
Quase ao mesmo tempo viveu Euclides de Alexandria que sintetizou toda a geometria conhecida na sua época no seu tratado “Elementos”, composto por 13 livros, que ainda há poucos anos era o principal instrumento de trabalho dos estudantes de Geometria.
Só cerca do ano de 1600 o matemático francês René Descartes introduziu uma verdadeira inovação na Geometria: descobriu que havia uma relação estreita entre as figuras geométricas e certos cálculos numéricos – Geometria Cartesiana – que é algébrica, embora se conheça por Geometria Analítica. Assim, foi possível resolver facilmente, através do cálculo, problemas que eram muito difíceis à luz da geometria.
No fim do século passado, o caminho iniciado por Euclides teve mais um ponto de viragem. O matemático alemão David Hilbert escreveu um livro – “Fundamentos de Geometria” – em que colocou sobre bases rigorosas e modernas a Geometria. A partir do seu trabalho houve grandes progressos na Geometria e, hoje em dia, usam-se métodos muito variados para resolver problemas também muito variados e interessantes.
Ao longo do tempo, a geometria vem se afirmando cada vez mais através de sua utilização na astronomia, arquitetura, construção e hoje mais do nunca através da computação gráfica e do desenvolvimento de softwares, bem como em profissões como, por exemplo, a de um diagramador que para determinar qual vai ser a altura da foto dispõe de dois métodos para fazer uma redução: um geométrico e outro aritmético. Por tudo isso, podemos ver o quão imprescindível a geometria tem se tornado para os dias atuais. No trabalho, na escola e no dia-a-dia, ela tem aplicações dinâmicas que tem permitido melhorar a vida das pessoas e, como diria Kant “A Geometria é a ciência de todas as espécies possíveis de espaços”.

PANORAMA SOBRE A DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS DE GEOMETRIA NO CURRÍCULO DE MATEMÁTICA NO BRASIL

Dada sua importância, o ensino da Geometria tem adquirido, nos últimos anos, lugar de destaque no cenário das reformas educacionais em todo o país. O ensino de Geometria vem sendo proposto pelos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs, 1998), como fator fundamental para o desenvolvimento de habilidades e competências matemáticas a níveis do Ensino Fundamental e Médio.
Os livros didáticos até meados da década de 90 traziam os conteúdos de Geometria no final de cada volume. Como grande parte dos docentes seguiam a programação desses livros, os conteúdos geométricos eram trabalhados somente no final do ano.
Atualmente percebemos que a distribuição dos conteúdos de geometria aparece de maneira mais diferenciada e bem distribuída ao longo dos capítulos de alguns livros didáticos, ou seja, ocorreram melhorias nos livros didáticos a partir da implantação de recomendações oriundas da comunidade de professores e pesquisadores da Educação Matemática a nível Nacional veiculada por meio do Programa Nacional do Livro Didático – PNLD. Entretanto percebemos que ainda prevalece a cultura de considerar os conhecimentos geométricos difíceis, de menor importância que os de Álgebra e de Aritmética.
Em todos os níveis da educação básica existem propostas metodológicas que visam dar suporte a prática pedagógica docente nas diferentes áreas do conhecimento. Assim, no componente curricular de Matemática estas propostas objetivam integrar as aplicações da matemática às outras áreas do conhecimento, bem como à realidade dos educandos.
Em todos os lugares, estamos rodeados por objetos que lembram figuras geométricas chamadas de sólidos geométricos. O panorama da distribuição dos subtemas da geometria aborda os conteúdos que envolvem as diversas formas geométricas.
No Ensino Fundamental I são abordados os seguintes conteúdos: Noção de geometria; Figuras geométricas; Sólidos geométricos; Figuras planas; O cubo, o paralelepípedo, triângulo e a esfera; Ponto, reta e plano; Semi-retas e Seguimentos de reta.
Já no Ensino Fundamental II são abordados os conteúdos: Geometria dedutiva; Ângulos nos polígonos; Ângulos na circunferência; Geometria Plana, Ângulos; Triângulos; Polígonos convexos; Áreas de figuras planas; Relações nas circunferências; Simetrias; Formas geométricas, entre outros.
No Ensino Médio os subtemas abordados são: Geometria analítica, tendo como alguns exemplos de tópicos o Plano Cartesiano; Distância entre dois pontos médios; Divisão de um seguimento numa razão; Área de um triângulo; Condição de alinhamento de três pontos; Equação da reta; Inclinação de uma reta; Equação reduzida da reta; Equação normal da reta; Equação segmentária da reta; Ângulos entre duas retas; Bissetrizes entre duas retas; Equação da circunferência; Equação geral do 2° grau.
Geometria espacial envolvendo a Geometria de posições; Poliedros convexos; Relação de Euler; Soma dos ângulos; Poliedros de Platão; Tetraedro regular; Hexaedro regular; Octaedro regular; Prismas regulares retos; Cilindro circular reto; Cilindro equilátero; Pirâmides regulares; Cone circular reto; Cone equilátero; Esfera; Fuso esférico; Cunha esférica; Zona esférica; Calota esférica; Tronco de pirâmide; Tronco de cone; Secção transversal.

FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA DA UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA NO ÂMBITO DO ENSINO

Todo o conhecimento humano produzido é fruto de um processo derivado das interações do homem com o meio em que vive. Este desenvolvimento lento e progressivo se deve, inicialmente, às necessidades de sobrevivência do homem e, posteriormente, à busca da compreensão do mundo que o cerca e à procura da essência de “ser” humano em sua ânsia de libertação.
A matemática é uma atividade humana, presume a razão, conceitos são construídos ou desfeitos nas tentativas de solução das situações-problema oriundas do mundo perceptível aos sentidos ou de reflexões teóricas relativas a modelos matemáticos obtidos por meio de generalizações das observações e hipóteses. A abstração é a característica principal da matemática e, um dos principais objetivos do ensino de matemática é a formação de conceitos decorrentes de representações simbólicas que compõem uma linguagem específica. Contudo, a apropriação desta linguagem, para muitos alunos, constitui em uma grande dificuldade que conduz a questões como: “Para que serve isso?”, “Por que estudar este conteúdo?”. A História da Matemática é um campo do conhecimento que permite ao professor de Matemática a (re) elaboração de sua concepção referente a esta disciplina e a organização de abordagens pedagógicas que podem contribuir no processo de ensino e aprendizagem.
Segundo Brito e Miorim (1999), a partir da aquisição de conhecimentos históricos e filosóficos dos conceitos matemáticos, o professor tem a possibilidade de diversificar suas técnicas pedagógicas e tornar-se mais criativo na elaboração de suas aulas, as quais podem provocar o interesse dos alunos para o estudo da matemática.
D’Ambrosio (1999) argumenta que uma abordagem adequada para incorporar a história da matemática na prática pedagógica deve enfatizar os aspectos socioeconômicos, políticos e culturais que propiciaram a criação matemática.
Contudo, caso o professor não tenha um conhecimento mais profundo da história da matemática, ele pode utilizar-se de informações históricas como curiosidades, e com isso motivar seus alunos.
Grunetti e Rogers (2000, apud Baroni e Bianchi 2007) identificam os debates relativos à história da matemática sob três aspectos distintos:
• Aspecto filosófico – A necessidade de visualização da matemática como uma atividade humana e suas relações sócio-culturais.
• Aspecto interdisciplinar – A matemática ligada a outras disciplinas. A compreensão do conteúdo matemático torna-se mais efetiva mediante as conexões históricas entre diversas áreas do conhecimento.
• Aspecto cultural – A análise das contribuições de várias culturas ou de uma cultura específica para a evolução da ciência matemática.
Alguns argumentos favoráveis à utilização da história da matemática, em sala de aula, segundo Tzanakis e Arcavi (2000, apud Baroni e Bianchi 2007) e Miguel e Miorim (2004, apud Baroni e Bianchi 2007) são:
• A história da matemática constitui um elo entre a matemática e outras áreas do conhecimento. Os estudos históricos da evolução dos conceitos matemáticos produzem discussões referentes a inúmeros temas e propiciam uma formação mais ampla.
• O ensino da matemática pode tornar-se mais interessante por meio de problemas históricos e episódios intrigantes que motivam a aprendizagem.
• O conhecimento da história da matemática permite a compreensão da matemática como uma construção humana, com influências sociais e culturais.
Decorrente disso se verifica a desmistificação da matemática muitas vezes vista como um produto a - histórico, fruto de uma estrutura lógica rígida.
Ainda segundo os autores, outros fatores que podem ter destaque quando se introduz a história da matemática como metodologia de ensino são:
• O desenvolvimento histórico da matemática é uma atividade matemática. O estudo das notações, terminologias, métodos e processos algorítmicos permite a professores e alunos a visualização das vantagens e/ou desvantagens das formalizações atuais da matemática.
• A reconstrução didática do desenvolvimento histórico de certos tópicos de matemática possibilita tanto a professores quanto a alunos conhecer as dificuldades inerentes ao processo de construção do conhecimento matemático assim como a apreciação da natureza da atividade matemática.
Novas alternativas didáticas podem surgir destas (re) elaborações históricas dos conteúdos.
Vianna (1998) faz algumas reflexões referentes ao crescente “uso” didático da história da matemática; expõe argumentos de alguns renomados matemáticos que demonstraram ser favoráveis ou contrários a estas aplicações do conhecimento histórico e aponta vias de condução destas informações em sala de aula, como: associar a lógica das produções matemáticas com a construção do significado para os conteúdos matemáticos, conhecida como “lógica da justificação”, percorrer as etapas históricas do desenvolvimento dos conceitos para fins didáticos denominado “princípio genético” e a “história social” da matemática que pode retratar aspectos internos à matemática relativos a questões específicas do desenvolvimento matemático ou aspectos externos provenientes do contexto sócio-cultural.
Tzanakis e Arcavi (2000, apud Baroni e Bianchi 2007) apresentam diversas abordagens dadas à história da matemática, algumas direcionadas a processos pedagógicos, dentre elas podem-se destacar três:
- O uso da história da matemática com propósitos motivacionais. Informações históricas concernentes a determinados eventos, problemas famosos e biografias podem ser estímulos à motivação dos alunos aumentando o interesse na aprendizagem de certos conteúdos. Em muitos dos livros didáticos disponíveis isso pode ser encontrado, dentre eles pode-se citar: “Matemática – aula por aula” de Xavier & Barreto, “Matemática – Ensino Médio” de Smole & Diniz, “Matemática Completa” de Giovanni & Bonjorno, “Matemática” de Paiva, “Matemática” de Dante, “Matemática e suas tecnologias” de Rubió & Freitas. Os livros didáticos constituem ferramentas pedagógicas a alunos e professores, servem de apoio aos professores em suas aulas e tem como objetivo principal promover a aprendizagem. As coleções que são aprovadas para participar do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) devem estar em acordo com as Diretrizes Curriculares Nacionais Oficiais, em sintonia com as atuais tendências de ensino. Observa-se que das coleções de matemática participantes do PNLD – 2008 para o Ensino Médio, a maioria delas apresenta a história da matemática como um recurso para o processo de ensino e aprendizagem. Os autores procuram, por intermédio da história da matemática, despertar o interesse do estudante ao introduzirem determinados temas. Em algumas obras, os recortes históricos apresentados contribuem para o reconhecimento da matemática como uma construção humana e instigam novas pesquisas com indicações bibliográficas.
- O “Princípio Genético”. Defendido por matemáticos como Felix Klein e Henri Poincaré é um método que tem como característica principal o percurso histórico da evolução do conceito a ser apreendido pelo educando. O recurso à História da Matemática torna-se uma opção que pode possibilitar a superação de conflitos cognitivos na passagem de uma etapa da construção do conhecimento para outra de nível superior, a partir da reconstrução histórica do conceito.
- A História da Matemática e a promoção da “Consciência Matemática”.
Permitem ao educando conhecer as motivações, as dúvidas, as contradições, as abstrações que permearam as produções matemáticas e também as questões filosóficas, os aspectos sociais e culturais que permitiram ou foram obstáculos para o desenvolvimento de certos campos da matemática. Esta via conduz o aluno à compreensão da matemática como uma ciência construída socialmente pela humanidade, em contraste com a visão reducionista, de um produto pronto e acabado.
Independente da abordagem empregada, a história da matemática, no âmbito do ensino de matemática, possibilita aos educandos a percepção da matemática como resultado de uma elaboração mental do homem, oportuniza investigações que favorecem a compreensão dos processos de formalização dos conhecimentos matemáticos e ainda, a construção de valores e atitudes necessários para a formação integral do cidadão.
A História da Matemática é um elemento orientador na elaboração de atividades, na criação de situações-problema, na busca de referências para compreender melhor os conceitos matemáticos. Possibilita ao aluno analisar e discutir razões para aceitação de determinados fatos, raciocínios e procedimentos. (DCE’s Matemática, SEED/PR, 2006) Segundo Davis e Hersh (1998), a matematização do mundo é tão intensa que, para o reconhecimento de uma teoria científica, a condição inicial é a sua descrição por meio da linguagem matemática, pois as ciências biológicas, e até mesmo as ciências sociais estão cada vez mais matematizadas. Diante destas constatações, seria evidente a visão da matemática como uma ciência construída socialmente, um produto histórico resultante da atuação do homem no ambiente em que está inserido. Contudo, grande parte dos alunos vê a matemática como uma ciência pronta, distante da realidade social, um processamento de números e símbolos sem conexão com a evolução dos conceitos. Isto evidencia o resultado de aplicações de propostas de ensino que priorizam o lógico, o formal, a fragmentação dos conceitos e conduzem a uma visão cartesiana da matemática e das ciências.
Um ensino de matemática que tenha como ponto basilar o movimento lógico histórico do conhecimento matemático acena para uma possibilidade real de êxito do processo ensino-aprendizagem.
Sabe-se que os conceitos matemáticos surgiram de problemas práticos decorrentes da vida cotidiana ou de questões teóricas que envolveram as mentes de inúmeros matemáticos ao longo da história. Nas narrativas históricas da Matemática encontram-se também aspectos referentes a comportamentos, a atitudes mesquinhas, inerentes à condição humana. Conhecer manifestações que tratam dos processos criativos permite aos alunos um envolvimento na construção do conhecimento histórico, superando-se a visão da matemática como um produto pronto e acabado. A história da matemática como metodologia de ensino leva para as salas de aula questões relativas às necessidades humanas que deram origem a conceitos matemáticos e às produções teóricas conseqüentes das abstrações e generalizações obtidas.
O grande desafio para os professores de matemática que procuram fazer uso da história da matemática em sala de aula consiste na transformação das informações históricas obtidas por meio de pesquisas bibliográficas em atividades de ensino que propiciem aos alunos um encontro histórico com o conhecimento matemático e na elaboração de abordagens pedagógicas que favoreçam a reconstrução e assimilação dos conceitos envolvidos nestes conteúdos.
O conhecimento da história da matemática é essencial para todo professor desta área, pois mesmo que as informações históricas não tenham aplicação direta em sala de aula, a compreensão do desenvolvimento histórico dos conceitos pode influenciar positivamente às práticas pedagógicas. De acordo com Brito e Miguel
(1996), a história da matemática na formação do professor pode contribuir na percepção “da natureza da matemática, dos processos de abstração, de generalização e de demonstração, das dimensões estética e ético-política da atividade matemática”. Contudo, a grande maioria dos professores que atuam nas escolas não teve em sua formação disciplinas referentes à história da matemática, cabendo a eles a busca destes conhecimentos por intermédio de cursos de formação continuada, pesquisas bibliográficas, etc., pois, segundo Auguste Comte (apud Motta e Fereira, 2007) “Não se conhece completamente uma ciência, a menos que saiba a sua história”.
O recurso à história da matemática sozinho não soluciona todos os problemas da Educação Matemática, mas, observa-se que as atividades inspiradas na história motivam os alunos à aprendizagem, humanizam a matemática, conduzem a investigações e contribuem para a compreensão dos conteúdos matemáticos a partir da re-criação ou da re-descoberta de conceitos. Uma abordagem histórica da construção de conceitos matemáticos pode propiciar uma visão da produção matemática, e revela que a matemática é um produto da cultura humana, mutável com o tempo.

REVISÃO DE LITERATURA DE PROPOSTAS JÁ EXISTENTES A RESPEITO DA UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA

Afirmações sobre a origem da Geometria são incertas, pois os primórdios do assunto são mais antigos do que a arte de escrever. Heródoto e Aristóteles não quiseram arriscar-se a propor origens mais antigas que a civilização egípcia, mas é claro que a Geometria que tinham em mente possuía raízes mais antigas.
Heródoto defende que a Geometria se originou no Egito, pois acreditava que tinha surgido a partir da necessidade prática de fazer novas medidas de terras após cada inundação anual do vale do Rio Nilo.
Para Aristóteles a existência no Egito de uma classe sacerdotal com lazeres é que tinha conduzido ao estudo da Geometria. Para ele, foi empregada pelos povos primitivos na construção de objetos de decoração, de utensílios, de enfeites e na criação de desenhos para a pintura corporal.
Formas geométricas, com grande riqueza e variedade, apareceram em cerâmicas, cestarias, e pinturas de diversas culturas, com a presença de formas como triângulos, quadrados e círculos, além de outras mais complexas.
Quanto à Geometria Grega, o seu apogeu é atingido no período helenístico com uma vasta produção matemática que remonta a muitos séculos antes de Euclides. Toda essa produção recebeu a denominação de Geometria Pré-Euclidiana, visto que Euclides de Alexandria viveu entre 300 e 200 a.C. e desenvolveu o método axiomático construído a partir da estrutura lógica de pensamento.
Quanto às propostas já existentes a respeito da utilização da história da Matemática para o Ensino da Geometria, tem – se Howard Eves, em Tópicos de História da Matemática para uso em sala de aula da Editora Atual. O autor apresenta por exemplo o Teorema de Pitágoras, o problema da Trissecção, a feiticeira de Agnesi e a História da Elipse, Hipérbole e parábola.
As recentes revisões do currículo de Matemática dos Ensinos Fundamental e Médio devolvem à Geometria a importância que esta disciplina tem na aprendizagem de Matemática no nível elementar, pois permite resolver problemas do cotidiano e interfere fortemente na estruturação do pensamento, levando à construção do conhecimento.

A PROPOSTA DETALHADA PARA O ENSINO DE GEOMETRIA UTILIZANDO O RECURSO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

JOGANDO COM A MATEMÁTICA NO 8º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL


Objetivo: Propiciar aos alunos do 8º ano Ensino Fundamental uma atividade diferenciada e de recreação, visando retomar conteúdos trabalhados (valor numérico) relacionando fatos históricos trabalhados durante o período letivo. O jogo permite fazer um fechamento dos conteúdos trabalhados e tornar as aulas mais atraentes e interessantes no término do ano.

Regulamento: (Grupo de 4 participantes sendo um deles o mediador).
- Cada jogador lança o dado na sua vez.
- Substitua o número que saiu no dado na expressão.
- Ande tantas casas quanto for o valor calculado.
- Quando este coincidir com o item (fatos históricos ou situação problema) responda a pergunta do cartão correspondente ao número.
Observação: Ao acertar a pergunta, avançar três casas.
Ao errar a pergunta, permanecer na mesma posição.
- Será declarado vencedor quem completar 3 voltas primeiros.

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS:

BAIRRAL, M. A.; DA SILVA, M. A. Instrumentação para o ensino de geometria. (Vol. 1, 2). Rio de Janeiro: CEDERJ, 2005.

BARONI, R. L. S.; BIANCHI, M. I. Z. História da Matemática em livros didáticos. Guarapuava: SBHMat, 2007. (Coleção História da Matemática para Professores).

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros curriculares nacionais: Matemática. Ensino de 5ª a 8ª séries. Brasília: MEC/SEF, 1998.

BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/SEB, 2006. (Orientações curriculares para o ensino médio; volume 2)

BRASIL. Ministério da Educação. PDE: Plano de Desenvolvimento da Educação: Prova Brasil: ensino fun¬damental: matrizes de referência, tópicos e descritores. Brasília: MEC, SEB; Inep, 2008. 200 p.: il.

BRITO, A. J.; MIGUEL, A. A História da Matemática na Formação do Professor de Matemática. Cadernos CEDES – História e Educação Matemática. Campinas: Papirus, n.40, 1996, p.74-61.

BOYER, C. B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. 2. ed., São Paulo: Edgard Blücher, 1996, 496p.

D’AMBROSIO, U. A História da Matemática – Questões historiográficas e políticas e reflexos na Educação Matemática. In: BICUDO, M. A. V. (org.)

LORENZATO, S. Para Aprender Matemática. Autores Associados. Campinas, 2006.

RÊGO, R. M.; RÊGO, R. G. Desenvolvimento e uso de materiais didáticos no ensino de matemática. In: LORENZATO, S. (org.). O laboratório de ensino de matemática na formação de professores. Campinas, SP: Autores Associados, 2006. p. 39-56.